La fonction sigmoide est un concept clé dans le domaine de l’intelligence artificielle, en particulier dans les réseaux de neurones et le Deep Learning. Dans cet article, nous allons explorer les propriétés et les applications de cette fonction mathématique essentielle. Alors, qu’est-ce que la fonction sigmoïde et pourquoi est-elle si importante dans les réseaux de neurones ?
Qu’est-ce que la fonction sigmoide?
En mathématiques, la fonction sigmoide (aussi appelée courbe en S) est définie par l’équation :
f(x) = (1 / (1 + e-x))
Pour tout réel x. Elle est souvent utilisée dans les réseaux de neurones en tant que fonction d’activation, car elle est dérivable et son codomaine est l’intervalle [0,1], ce qui permet d’obtenir des valeurs analogues à des probabilités.
La dérivée de sa fonction inverse est extrêmement simple à calculer, ce qui permet d’améliorer les performances des algorithmes d’optimisation.
Propriétés graphiques de la fonction sigmoide
- La courbe sigmoide possède pour asymptotes les droites d’équation y = 0 et y = 1
- Elle a pour centre de symétrie le point I de coordonnée (0;1/2), qui est également un point d’inflexion puisqu’en ce point, la dérivée seconde est nulle et change de signe
Équation différentielle de la fonction sigmoide
Les propriétés de la fonction sigmoide s’expliquent par celles de sa dérivée. En effet, celle-ci est égale à :
dy/dx = (λe-λx / (1 + e-λx)2)
où y varie de 0 à 1.
Cette équation différentielle signifie que la variation de y en fonction de x est proportionnelle à la fois à l’avancement de y depuis 0 et au chemin qui reste à parcourir pour arriver à 1, proportionnalité affectée d’un coefficient λ.
Écriture alternative de la fonction sigmoide
La fonction sigmoide peut s’exprimer à l’aide de la fonction tangente hyperbolique, dont la courbe représentative a aussi une forme en S :
f(x) = (1/2) + (1/2)tanh(x/2)
Modélisation avec la fonction sigmoide
Dans le cadre de la modélisation, notamment pour les systèmes biologiques, on utilise souvent des fonctions sigmoïdes de Hill :
sigp(x) = (xn / (xn + θn)) sigm(x) = 1 - sigp(x) = (θn / (xn + θn))
La raideur de ces fonctions est décrite par le paramètre n et le point d’inflexion est considéré être en θ.
Pourquoi la fonction sigmoide est-elle importante dans les réseaux de neurones?
La fonction sigmoide est souvent utilisée comme fonction d’activation dans les réseaux de neurones, car elle possède plusieurs propriétés intéressantes :
- Elle est dérivable, ce qui est nécessaire pour l’algorithme de rétropropagation de Werbos.
- Son codomaine est l’intervalle [0, 1], ce qui permet d’obtenir des valeurs analogues à des probabilités.
- La dérivée de sa fonction inverse est extrêmement simple à calculer, ce qui permet d’améliorer les performances des algorithmes d’optimisation.
Quelques mots pour finir…
La fonction sigmoide est un concept clé dans le domaine des réseaux de neurones et du Deep Learning. Grâce à ses propriétés mathématiques et à sa capacité à modéliser des phénomènes complexes, elle est largement utilisée dans diverses applications de l’intelligence artificielle.
En comprenant le fonctionnement de la fonction sigmoide et son utilisation dans les réseaux de neurones, vous pouvez mieux appréhender les mécanismes qui sous-tendent l’apprentissage automatique et l’IA en général.
